วันอังคารที่ 15 มิถุนายน พ.ศ. 2553

Boolean Albebra

พีชคณิตบูลีน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ใน คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูล, พีชคณิตบูลีน หรือ แลตทิซแบบบูล (อังกฤษ: Boolean algebra) คือ โครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์ ทฤษฏีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตาม จอร์จ บูลผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

ประวัติ
จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ทเวิร์คที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิตอล

นิยาม
พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ (AND) กับ (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ \lorสมบัติของ \andชื่อเรียก
a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c a \land (b \land c) = (a \land b) \land c การเปลี่ยนหมู่
a \lor b = b \lor a a \land b = b \land a การสลับที่
a \lor (a \land b) = a a \land (a \lor b) = a absorption
a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) การแจกแจง
a \lor \lnot a = 1 a \land \lnot a = 0 ส่วนเติมเต็ม


สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ \lorสมบัติของ \andชื่อเรียก
a \lor a = a a \land a = a นิจพล (idempotency)
a \lor 0 = a a \land 1 = a มีขอบเขต (boundedness)
a \lor 1 = 1 a \land 0 = 0
\lnot 0 = 1 \lnot 1 = 0 0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot bกฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
\lnot \lnot a = a อวัตนาการ (involution)


การนำไปใช้
เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่
พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ
เขียนโดย ที่

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)