เวปเพจของ อาจารย์ ยุพดี สายประสิทธิโชค มหาวิทยาลัยพระจอมเกล้าลาดกระบัง
การลดรูปสมการคณิตศาสตร์ทางลอจิก
การลดรูปสมการคณิตศาสตร์ทางลอจิก เป็นกระบวนการที่ทำให้สมการเหลือตัวแปรน้อยที่สุด เมื่อนำสมการที่ลดรูปนั้นไปประกอบเป็นวงจรก็จะได้วงจรที่ใช้จำนวนอุปกรณ์น้อย และสามารถทำงานได้ตามฟังก์ชั่นที่ต้องการ วิธีการที่นิยมใช้อยู่ในปัจจุบันมี 2 วิธีคือ การลดรูปสมการโดยใช้พีชคณิตบูลีนและการลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์
10.1 พีชคณิตบูลีน
พีชคณิตบูลีนเป็นการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในสองสภาวะ คือ 0 และ 1 ประกอบด้วยคุณสมบัติเบื้องต้นและทฤษฎี ดังต่อไปนี้
10.1.1 คุณสมบัติเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระทำบนตัวคงที่
1) 0 × 0 = 0
2) 0 ××; 0
= 0
3) 1 × 1 = 1
5) 0 + 1 = 1 + 0
= 11
7) 
= 
= 1
8) 
= 
= 0
10.1.2 คุณสมบัติเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระทำบนตัวแปร 1 ตัว
1) A + 0 = 0 + A
= A
2) A + 1 = 1 + A
= 1
3) A × 0 = 0 × A
= 0
4) A × 1 = 1 × A
= A
5) A + A = A
6) A × A = A
7) A +
= 1
8) A × = 0
9) 
= A
10.1.3 คุณสมบัติเกี่ยวกับการกระทำบนตัวแปรมากกว่า 1 ตัว
1) A + B = B + A
2) A × B = B × A
3) (A + B) + C = A + (B + C)
= A + B + C
4) (A × B) × C = A × (B × C)
= A × B × C
5) A × B +A × C = A × (B + C)
6) (A + B) × (A + C) = A + (B × C)
7) A + A × B = A
8) A × (A + B) = A
9) A + ×B = A + B
10) A × ( + B) = A × B
11) A×B + ×C + B×C = A×B + ×C
12) (A + B)×( + C)×(B + C) = (A + B)×( + C)
10.2 การลดรูปสมการโดยใช้พีชคณิตบูลีน
การลดรูปสมการ โดยใช้พีชคณิตบูลีนเป็นกระบวนการในการเลือกใช้ทฤษฎี มาลดรูปสมการเพื่อทำให้เหลือตัวแปรในสมการน้อยที่สุด เมื่อนำสมการที่ลดรูปได้นั้นไปประกอบเป็นวงจร ก็จะได้ วงจรที่ใช้ลอจิกเกตน้อยที่สุด ที่ยังทำให้วงจรยังคงมีฟังก์ชั่นการทำงานเหมือนเดิม
ตัวอย่างที่ 10.1 จากวงจรที่กำหนดให้ จงเขียนสมการบูลีน ทำการลดรูปสมการให้เหลือตัวแปรน้อย ที่สุด แล้วเขียนวงจรลอจิกจากสมการที่ได้
รูปที่ 10.1 วงจรลอจิกตัวอย่างที่ 10.1
วิธีทำ
สมการบูลีน Y = (A + B) . (B + C)
= (B + A) . (B + C)
= B+AC
จากสมการที่ได้นำมาเขียนวงจร
รูปที่ 10.2 วงจรที่ได้จากการลดรูปสมการ
ตัวอย่างที่ 10.2 จากวงจรที่กำหนดให้ จงเขียนสมการบูลีน ทำการลดรูปให้เหลือตัวแปรน้อยที่สุด แล้วเขียนวงจรลอจิก จากสมการที่ได้
รูปที่ 10.3 วงจรลอจิกตัวอย่างที่ 10.2
วิธีทำ
สมการบูลีน Y = A + [(A + B) . BC]
= A + ABC + BBC
= A + BC
จากสมการที่ได้นำมาเขียนวงจร
รูปที่ 10.4 วงจรที่ได้จากการลดรูปสมการ
10.3 ทฤษฎี เดอ มอร์ แกน (De Morgan’s Theorem)
ทฤษฎี เดอ มอร์ แกน เป็นทฤษฎีที่ใช้ช่วยในการลดรูปสมการ ซึ่งประกอบด้วย
และ
เมื่อเขียนเป็นวงจรลอจิกจะได้เป็น
รูปที่ 10.5 วงจรลอจิกของสมการ
รูปที่ 10.6 วงจรลอจิกของสมการ
เพื่อเป็นการพิสูจน์ว่าทฤษฎีของ เดอ มอร์ แกน กล่าวไว้ถูกต้อง สามารถพิสูจน์ได้โดยการสร้างตารางความจริงของสมการ ดังนี้
ตารางที่ 10.1 ตารางความจริงของ 
และ 
อินพุต | เอาต์พุต | ||||
A | B |
|
|
|
|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ตารางที่ 10.2 ตารางความจริงของ 
และ 
อินพุต | เอาต์พุต | ||||
A | B |
|
|
|
|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
จากตารางที่ 10.1 จะเห็นว่าค่าลอจิกที่เอาต์พุตของสมการ และ จะมีค่าเท่ากัน และจากตารางที่ 10.2 ค่าลอจิกที่เอาต์พุตของสมการ และ ก็มีค่าเท่ากัน แสดงว่า ทฤษฎี เดอ มอร์ แกน ให้ค่าที่ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 10.3 จากวงจรที่กำหนดให้ จงเขียนสมการที่จุด Y แล้วลดรูปสมการให้เหลือตัวแปรน้อย ที่สุด จากนั้นเขียนวงจรลอจิกจากสมการที่ลดรูปได้
รูปที่ 10.7 วงจรลอจิกตัวอย่างที่ 10.3
วิธีทำ
สมการที่จุด Y = 
= 
= 
= 
= 
= 
จากสมการที่ได้นำมาเขียนวงจร
รูปที่ 10.8 ; วงจรที่ได้จากการลดรูปสมการตัวอย่างที่ 10.3 เมื่อเปลี่ยนรูปวงจรแล้ว
